【数学】いらすとやでモンティホール問題のわかりやすい解説をしようとした

 
すばるいぬです∪・ω・∪
 
 
 
 
 
いきなりですが質問です。
 
 
下の問に答えてみてください。
 
 
 
 
Q.ここに3つのドアがあります
 
1つは当たり2つは外れです。
 
あなたはドアを1つ選んで開けられます。
 
当たりのドアを開ける確率は?
 
 
 f:id:subaruinu:20180221212306p:plain
 

 

 
 
 
A.33.3%(1/3)
 
 
 
 
 
正解!?すごい!!!
 
 
 
 

 
 
 
皆様の智能を過小評価していました…。
 
大変申し訳ありません…。
 
 
よって条件を追加します。
 
 
 
 
【追加条件】
 
あなたがドアを1つ選択した後、
 
私が残りのドアの中から
 
適当に外れのドアを1つ空けます。
 
更にあなたは残された2つのドアから
 
開けるドアを選びなおせます。
 
 
ドアを変える/変えない場合それぞれの
 
当たりのドアを開ける確率は?
  
 
 
 
 
モンティホール問題のはじまりです。
 
 
 

モンティホール問題、知ってる?

 
 
前に別の記事でちょっとだけ触れたのですが、
 
 
皆さんはそもそも
 
 
って聞いたことありますか?
 
 
 
学生時代に塾講師やってた時に
 
数学の質問をしに来た子に
 
たまに聞いたりしたのですが、
 
意外とみんな知らない。
 
 
 
知ってる子の場合殆どは
 
数学Aの条件付き確率の項で
 
先生から小話を受けている模様。
 
 
それでも意外と説明が
 
スラスラできる生徒は少ない。
 
 
ということでモンティホール問題を
 
いらすとやさんの絵を使って
 
わかりやすく説明しますー。
 
 
 
 
と、その前に。
 
 
 
 

モンティホール問題の由来

 
 
 
モンティホール問題の名前は
 
アメリカの長寿番組「Let’s Make a Deal」の
 
司会者の名前、Monty Hallから来たもの。
 
この番組内で行われた問題を簡略化したものが
 
冒頭で提示した問題となります。
 
 
ちなみに番組では外れのドアに
 
ヤギが仕込まれていたそうです。
 
かわいいですね。
 
 

 
 
 
 
 
 

モンティホール問題の意見対立

 
 
 
この問題はおおよそ下のパターン、
 
 
 
【50%(1/2)】
変えようが変えまいが同じ
 
 
【66.6%(2/3)】
絶対に変えた方が良い
 
 
の2派に分かれると思います。
 
 
そして相容れることのできない
主張をぶつけ合います。
 
 

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【50%派の言い分】

 
 
外れのドアを開けたから
 
残ってるドアの当たりと外れは半々!
 
 
至極まっとうです。
 
私は外れのドアを開けますからね。
 
間違って当たりのドアを開けないので、
 
確かに残りのドアは
 
片方が当たりで片方が外れです。
 
うーん、正しそうですね。
 
 
 
 

【66.6%派の言い分】

 
 
確率は合計すれば100%!
 
変えない場合は初めの条件から
 
何も変わってないので33.3%!
 
余事象の変える場合は66.6%!
 
 
 
確かに計算上そうなりますね。
 
しかし50%派の方が
 
「直感的に」分かりやすいし
 
苦しい主張ではないでしょうか(笑)
 
 
HAHAHA(´∀`)HAHAHA
 
 
 
 
 

モンティホール問題の正解と解説

 
 
 

【正解】

  
 
再選択しない場合…33.3%(1/3)
 
再選択する場合…66.6%(2/3)
 
 
でした!
 
 
 

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「さっきと言ってることちがうじゃねーか!」

 

 

重ね重ね申し訳御座いません…。

 

でもこれが真実です…。

 
 
 

【解説】

 
それでは具体的に説明するため
 
ドアにアルファベットと当たり外れを
 
割り振ってみましょう。
 
 
 

f:id:subaruinu:20180221215753p:plain

 
今回はAのドアが正解ということにします。
(もちろん正解不正解は回答中に分からない)
 
 
あなたはまずはじめに
ドアA,B,Cのいずれかを選択します。
 
 
①Aの扉を始めに選んだ場合
 
それでは私は残りの
外れドアから1つを適当に開けます。
ここではCを開けましょうか。
 

f:id:subaruinu:20180221221204p:plain

 

という事は

 

扉を変えない→正解!

扉を変える→不正解!

 

となります。

 

 

 

 

②Bの扉を始めに選んだ場合

 

外れのドアはCしかありません。

よって強制的にCのドアを開けます。

 

f:id:subaruinu:20180221221204p:plain

 

図はさっきと同じですが、

 

扉を変えない→不正解!

扉を変える→正解!

 

答えが真逆になりますね。

 
 
 
 
 
 
③Cの扉を始めに選んだ場合
 
 
 
考えるまでもありません。
 
だって②でのCの扉を開ける作業を
Bの扉を開ける作業に
置き変えるだけなんですから。
 
つまり、
 

扉を変えない→不正解!

扉を変える→正解!

 

になりますね。

 

 

④まとめると

 

①…変えないと正解

②③…変えると正解

 

①②③は同様の事象かつ、

正解の扉がBまたはCでも

やることは変わらないので

66.6%の確率で変えた方が良い!

 

 

スッキリしたでしょうか !

 

納得できた方はOKです!

 

 

 

 

あーおわりおわり。

 

 

 

 ん…?

 

 

 

外れのドアを開けたから
 
残ってるドアの当たりと外れは半々!

 

 

50%派の疑問が晴れてない!

 

 

 

 

⑤50%は本当に存在するのか

 

※ここから先は条件付き確率を

より突き詰める内容となります。

モンティホール問題解けてスッキリな方は

読まなくてもよいと思います。

というか読むと沼にはまります。

 

 

そもそも50%派の人たちも

 

最初の問題では33%と答えましたね。

 

それにもかかわらず50%と答えたのは

 

この一文があったからでしょう。

 

あなたがドアを1つ選択した後、
 
私が残りのドアの中から
 
適当に外れのドアを1つ空けます。

 

 

ここです!

 
見た目上の確率操作の瞬間です!

 

 

50%派の人はちゃんと計算しようとした時

下のような図を想像したのではないでしょうか。

(正解の扉がAのパターン)

 

あなたの選択

正解の扉

私が開ける扉

起こる確率

A

A

B

1/4

A

A

C

1/4

B

A

C

1/4

C

A

B

1/4

 

(パーセンテージではなく百分率の方が

計算しやすいので表示を変えました。)

 

 

 

 

それっぽいですが、間違いです。

 

より正しく表記すれば下の表です。

 

 

あなたの選択

正解の扉

私が開ける扉

起こる確率

A

A

B

1/6

A

A

C

1/6

B

A

C

1/3

C

A

B

1/3

 

 

適当に外れのドアから一つ開ける

 

 

予め定義すると不自然な問題文になるので

あえて省いていましたが定義しましょう。

 

ここでは「適当」という言葉を

「完全にランダムに」として定義します。

同様に確からしく起こる事象です。

 

あなたがAを選ぶ前提下で

私がBまたはCを選ぶ確率は

それぞれ1/2です。

 

そのためあなたがAを選びかつ

私がBまたはCの扉を開ける確率は

1/3×1/2=1/6となります。

 

 

 

ちなみに正解の扉が選ばれる確率も

同様に確からしいと仮定した場合の

全パターンが下図です。

 

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この図を利用して

私がBの扉を開けたという前提にしましょう。

 

この色付きの部分が全事象となるため

この確率を1とする必要があります。

1/9+1/9+1/18+1/18=1/3

1/3×3=1のためそれぞれの確率に

3をかけます。

(この辺りの計算は条件付き確率を

後日改めて解説したい)

 

初めの選択が当たりか外れかは

下の組み合わせになります。

 

A-A-B(1/6)当たり

C-A-B(1/3)外れ

A-C-B(1/3)外れ

C-C-B(1/6)当たり

 

当たり:1/6+1/6=1/3

外れ:1/3+1/3=2/3

 

やはり私がBの扉を開けたという前提では

初めの選択が合っている確率は

33.3%で間違いないですね。

 

無茶苦茶言ってるように聞こえるでしょう?

 

トランプ使って100回ぐらい試行すると

大体この結果に収束します。

学生の時は幾度となくやりました。

 

 

こうした直感とのズレが起きるのは

条件付き確率ではよくあることです。

 

このずれの大きな原因は

間違いなく

「私が残りの外れの扉からしか除外しない」

点にあります。

もし選択した扉も消去出来たり

当たり外れなく消去するなら

結果は全然変わってくるでしょう。

 

 

それにしてもやっぱ確率ってすごいね。

 

これに興奮する人間は是非

数学を極めることをおすすめします。

 

興奮しない人間はトリックの種として

楽しんでいただければ幸いです。

 

 

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