【数学小話】√2=2? 今世紀最大の謎がTwitterで瞬殺されていた件

 

 

最高に良い感じの問題ですね!

 

 

数学の錯覚問題好きな私としては

とても見過ごせません!

 

華麗に解いてみせましょう!

 

と思って意気揚々としていたら、

 

 

 

 

 

 

数時間で拡散され、ちゃんとした回答が

いっぱいリプされとるやんけー!

 

 

SNSのちからってすげー!

 

 

私の出番いらないかもですが

せっかくなので図で説明したいと思います…。

 

後今回は理論はあえて省いて

直感的に表現してみます。

 

 

 

 

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まず基本として正方形の辺の比は

上記の通りです。

 

このとき正方形を左下から右上へ向かうと

その長さは1×2=2です。

 

 

これを階段状に赤線を辿ると

1/2×4=2

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もう1回階段状に辿ると

1/4×8=2

 

何回でも階段状に辿っても

1/n×2n=2となる。

 

 

これは直感的にも理論的にも

間違いはなさそうです。

 

 

質問者さんの悩みは

この階段をこまかくしてしまうと、

下のようになる。

 

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本来対角線の長さは√2であるはずなのに

2と同一になるのはおかしい

とのことでした。

 

 

以前触れたモンティホール問題でも

そうでしたが、こういう場合は

どこかで重要な条件を見落としてます。

 

subaruinu.hatenablog.com

 

 

 

 

今回はこの点です。

 

階段が無視できるほど

直線となってしまい

 

 

 無視できないんですねー。

 

確かに人間の目には直線にしか見えませんが、

実際にこれは無数の階段の集合です。

 

 

 

 

だんだん細かくしていって

ややこしいのだから、

その細かい一部分をとりあげてズームする

逆の発想で理解しましょう。

 

 

 

 

この直線(らしきもの)は一部分を拡大すれば

下のようになっているのです。

 

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仮にこの欠片の対角線の長さが√2/10000cmとして、

赤線の長さが2/10000cmとしましょう。

肉眼では観測不能です。

 

 

だからこの1個だけを扱う際に

この端数は無視して同じと

扱いたくなる気持ちは分かります。

 

 

しかしこれはれっきとした欠片の1部です。

 

 

 

2個つなげればどうでしょう。

 

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対角線の長さが2√2/10000cm、

赤線の長さが4/10000cm。

 

 

 

1万個斜め方向に繋ぎ合わせた時、 

 

対角線の長さ

√2/10000×10000=√2

赤線の長さ

2/10000×10000=2

 

 

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戻ってきた!

 

 

 

話がややこしくなったのなら

あえてその逆の手順で回帰する。

 

塵も積もれば山となる。

 

無限においての省略表現には注意する。

 

 

色々な教訓が含まれている

良問だと思いました。