今世紀最大の謎、この証明どうなってんだ…？ pic.twitter.com/GysFA4GKWF
— マスボー (@UD2xswZaQSzDe66) 2018年2月22日
最高に良い感じの問題ですね！
数学の錯覚問題好きな私としては
とても見過ごせません！
華麗に解いてみせましょう！
と思って意気揚々としていたら、
極限を使わず説明してみます、誤りがあれば界隈の人が僕を叩きつつ訂正してくれるはず(他力本願寺) pic.twitter.com/hItKSu4me2
— すなぁく (@s_nkd1024) 2018年2月22日
どうして、細かいぎざぎざはいつまでもなくならないからです。とてもとても細かくなっても、例え斜めの線に「位置的に」近くなっても、長さ的には近くなりません。
— ファッションようじょ (@D_Plius) 2018年2月22日
数時間で拡散され、ちゃんとした回答が
いっぱいリプされとるやんけー！
SNSのちからってすげー！
私の出番いらないかもですが
せっかくなので図で説明したいと思います…。
後今回は理論はあえて省いて
直感的に表現してみます。
まず基本として正方形の辺の比は
上記の通りです。
このとき正方形を左下から右上へ向かうと
その長さは1×2=2です。
これを階段状に赤線を辿ると
1/2×4=2
もう1回階段状に辿ると
1/4×8=2
何回でも階段状に辿っても
1/n×2n=2となる。
これは直感的にも理論的にも
間違いはなさそうです。
質問者さんの悩みは
この階段をこまかくしてしまうと、
下のようになる。
本来対角線の長さは√2であるはずなのに
2と同一になるのはおかしい
とのことでした。
以前触れたモンティホール問題でも
そうでしたが、こういう場合は
どこかで重要な条件を見落としてます。
今回はこの点です。
階段が無視できるほど
直線となってしまい
無視できないんですねー。
確かに人間の目には直線にしか見えませんが、
実際にこれは無数の階段の集合です。
だんだん細かくしていって
ややこしいのだから、
その細かい一部分をとりあげてズームする
逆の発想で理解しましょう。
この直線（らしきもの）は一部分を拡大すれば
下のようになっているのです。
仮にこの欠片の対角線の長さが√2/10000cmとして、
赤線の長さが2/10000cmとしましょう。
肉眼では観測不能です。
だからこの1個だけを扱う際に
この端数は無視して同じと
扱いたくなる気持ちは分かります。
しかしこれはれっきとした欠片の1部です。
2個つなげればどうでしょう。
対角線の長さが2√2/10000cm、
赤線の長さが4/10000cm。
1万個斜め方向に繋ぎ合わせた時、
対角線の長さ
√2/10000×10000=√2
赤線の長さ
2/10000×10000=2
戻ってきた！
話がややこしくなったのなら
あえてその逆の手順で回帰する。
塵も積もれば山となる。
無限においての省略表現には注意する。
色々な教訓が含まれている
良問だと思いました。